\documentclass{physlecture}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{bm, amsmath, amssymb, amsfonts}
\usepackage{float, graphicx}
%\usepackage{flexisym, breqn, bracemath}
\usepackage{mymathutils}

\author{Д.\,А.~Паршин, Г.\,Г.~Зегря}
\lecturenumber{14}
\course{Квантовая механика}

\newcommand{\conjug}[1]{#1^*}
\DeclareMathOperator{\Rot}{rot}
\DeclareMathOperator{\Div}{div}
\DeclareMathOperator{\Grad}{grad}
\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}}
\begin{document}
  \maketitle
  \tableofcontents

  \section{Предельный переход от квантовой механики к классической. Роль
  действия. Волновая функция в классическом пределе.}
    Квантовая механика содержит в себе классическую в качестве предельного
    случая.  Возникает вопрос о том, каким образом осуществляется этот
    предельный переход.

    В квантовой механике электрон описывается волновой функцией \(\psi(\vec{r},
    t)\), определяющей различные значения его координаты. Эта функция является
    решением некоторого линейного дифференциального уравнения в частных
    производных. В классической же механике электрон рассматривается как
    материальная частица, движущаяся по траектории, вполне определяющейся
    уравнениями движения. Взаимоотношение, в некотором смысле аналогичное
    взаимоотношению между квантовой и классической механикой, имеет место в 
    электродинамике между волновой и геометрической оптикой. В волновой оптике
    электромагнитные волны описываются векторами электрического и магнитного
    полей, удовлетворяющими определённой системе линейных дифференциальных
    уравнений (уравнений Максвелла). В геометрической же оптике рассматривается
    распространение света по определённым траекториям --- лучам. Подобная
    аналогия позволяет заключить, что предельный переход от квантовой механики к
    классической происходит аналогично переходу от волновой к геометрической
    оптике.

    Напомним, каким образом математически осуществляется этот последний переход
    (электромагнетизм, часть 2, лекция 19). Пусть \(U\) --- какая-нибудь из
    компонент поля в электромагнитной волне (обозначим за \(U\), так как буква
    \(f\) уже занята). Её можно представить в виде
    \begin{equation*}
      U = ae^{i\varphi}
    \end{equation*}
    с вещественной амплитудой \(a\) и фазой \(\varphi\) (последнюю называют в
    геометрической оптике эйконалом). Предельный случай геометрической оптики
    соответствует малым длинам волн, что математически выражается большой
    величиной изменения \(\varphi\) на малых расстояниях; это означает, в
    частности, что фазу \(\varphi\) можно считать большой по своей величине.

    Соответственно этому, исходим из предположения, что предельному случаю 
    классической механики соответствуют в квантовой механике волновые функции
    вида
    \begin{equation*}
      \psi = ae^{i\varphi},
    \end{equation*}
    где \(a\) --- медленно меняющаяся функция, а \(\varphi\) принимает большие
    значения. Как известно, в механике траектория частиц может быть определена
    из вариационного принципа, согласно которому так называемое действие \(S\)
    механической системы должно быть минимальным (принцип наименьшего действия).
    В геометрической же оптике ход лучей определяется так называемым принципом
    Ферма, согласно которому должна быть минимальной ``оптическая длина пути''
    луча, т.\,е., разность его фаз в конце и в начале пути. 

    Исходя из этой аналогии, мы можем утверждать, что фаза \(\varphi\) волновой
    функции в классическом предельном случае должна быть пропорциональна
    механическому действию \(S\) рассматриваемой физической системы, то есть,
    должно быть
    \begin{equation*}
      S = \const \cdot \varphi.
    \end{equation*}
    Коэффициент пропорциональности называется постоянной Планка, и обозначается
    буквой \(\hbar\). Она имеет размерность действия (поскольку фаза безразмерна),
    и равна
    \begin{equation*}
      \hbar = 1.05 \cdot 10^{-17}~\text{эрг}\cdot\text{сек.}
    \end{equation*}

    Таким образом, волновая функция ``почти классической'', или, как говорят,
    \emph{квазиклассической} физической системы имеет вид
    \begin{equation*}
      \psi = ae^{\frac{i}{\hbar}S}.
    \end{equation*}

    Постоянная Планка играет фундаментальную роль во всех квантовых явлениях.
    Её относительная величина (по сравнению с другими величинами той же
    размерности) определяет ``степень квантовости'' той или иной физической
    системы. Переход от квантовой к классической механике соответствует большой
    фазе и может быть формально описан как переход к пределу \(\hbar \to 0\)
    (подобно тому, как переход от волновой к геометрической оптике соответствует
    переходу к пределу равной нулю длины волны, \(\lambda \to 0\)).

    Мы выяснили предельный вид волновой функции, но ещё остаётся вопрос о том,
    каким образом она связана с классическим движением по траектории. В общем
    случае движение, описываемое волновой функцией, отнюдь не переходит в
    движение по определённой траектории. Её связь с классическим движением
    заключается в том, что если в некоторый начальный момент волновая функция,
    а с нею и распределение вероятностей координат, заданы, то в дальнейшем
    это распределение будет ``перемещаться'' так, как это полагается по законам
    классической механики (подробнее на этом мы остановимся в одной из
    последующих лекций).

    Для того, чтобы получить движение по определённой траектории, надо исходить
    из волновой функции особого вида, заметно отличной от нуля лишь в очень
    малом участке пространства (так называемый \emph{волновой пакет}); размеры
    этого участка должны быть много больше де-бройлевской длины волны
    \begin{equation*}
      \lambda = \frac{2\pi\hbar}{p}.
    \end{equation*}
    Они стремятся к нулю, если \(\hbar \to 0\). Тогда можно утверждать, что в
    квазиклассическом случае (\(S \gg \hbar\)) волновой пакет будет перемещаться
    в пространстве по классической траектории частицы.

    Наконец, квантовомеханические операторы должны сводиться просто к умножению
    на соответствующую физическую величину.

  \section{Общий вид уравнения Шрёдингера. Эрмитовость оператора Гамильтона. Его
  физический смысл.}
    Волновая функция \(\psi\) полностью определяет состояние физической системы в
    квантовой механике. Это означает, что задание этой функции в некоторый момент
    времени не только описывает все свойства системы в этот момент, но определяет
    её поведение во все будущие моменты времени --- конечно, лишь с той степенью
    полноты, которая вообще допускается квантовой механикой. Математически это
    обстоятельство выражается тем, что значение производной
    \(\frac{\partial\psi}{\partial t}\) от волновой функции по времени в каждый
    момент времени должно определяться значением самой функции \(\psi\) в тот
    же момент времени, причём зависимость эта должна быть, согласно принципу
    суперпозиции, линейной. В наиболее общем виде можно написать
    \begin{equation}
      i\hbar \frac{\partial\psi}{\partial t} = \hat{H}\psi,
      \label{eq:Schroedinger}
    \end{equation}
    где \(\hat{H}\) --- некоторый линейный оператор; множитель \(i\hbar\)
    введён здесь с целью, которая выяснится ниже. 

    Поскольку интеграл
    \begin{equation*}
      \int \conjug{\psi}\psi dq
    \end{equation*}
    есть постоянная, не зависящая от времени величина, то имеем
    \begin{equation*}
      \frac{d}{dt}\int\abs{\psi}^2dq = \int \frac{\partial\conjug{\psi}}{\partial t}\psi dq + 
      \int \frac{\partial\psi}{\partial t}\conjug{\psi} dq = 0.
    \end{equation*}

    Согласно уравнению \eqref{eq:Schroedinger}, имеем
    \begin{align*}
      \frac{\partial\psi}{\partial t} &= -\frac{i}{\hbar}\hat{H}\psi, &
      \frac{\partial\conjug{\psi}}{\partial t} &= \frac{i}{\hbar}\conjug{\hat{H}}\conjug{\psi}.
    \end{align*}
    Поэтому
    \begin{align*}
      \frac{d}{dt}\int\abs{\psi}^2dq &= \int \frac{i}{\hbar}\left( \conjug{\hat{H}}\conjug{\psi} \right)\psi dq + 
      \int \conjug{\psi}\left( -\frac{i}{\hbar}\hat{H}\psi \right)dq =\\
      &= \frac{i}{\hbar} \left[
        \int \psi \conjug{\hat{H}}\conjug{\psi} dq - \int \conjug{\psi}\hat{H}\psi dq
      \right] =\\
      &= \frac{i}{\hbar}\left[
        \int \conjug{\psi} \conjug{\tilde{\hat{H}}} \psi dq - \int \conjug{\psi}\hat{H}\psi dq
      \right] =\\
      &= \frac{i}{\hbar}\int \conjug{\psi} \left( \conjug{\tilde{\hat{H}}} - \hat{H} \right)\psi dq = 0.
    \end{align*}
    Поскольку это равенство должно выполняться для произвольной функции \(\psi\),
    отсюда следует, что \(\conjug{\tilde{\hat{H}}} - \hat{H} = 0\), то есть,
    оператор \(\hat{H}\) эрмитов.

    Выясним, какой физической величине он соответствует. Для этого воспользуемся
    предельным выражением волновой функции:
    \begin{equation*}
      \psi = ae^{\frac{i}{\hbar}S},
    \end{equation*}
    и напишем
    \begin{equation*}
      \frac{\partial \psi}{\partial t} = \frac{i}{\hbar}\frac{\partial S}{\partial t}\psi
    \end{equation*}
    (медленно меняющуюся амплитуду \(a\) можно не дифференцировать).

    С другой стороны, согласно уравнению для волновой функции, 
    \begin{equation*}
      \frac{\partial\psi}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}\hat{H}\psi.
    \end{equation*}

    Сравнивая эти равенства друг с другом, мы видим, что в предельном случае
    \begin{equation}
      \hat{H} = -\frac{\partial S}{\partial t}.
      \label{eq:Hamiltonian}
    \end{equation}

    Но производная
    \begin{equation*}
      -\frac{\partial S}{\partial t} = H,
    \end{equation*}
    где \(H\) --- функция Гамильтона механической системы. Таким образом,
    оператор \(\hat{H}\) есть оператор, соответствующий в квантовой механике
    функции Гамильтона. Его называют поэтому \emph{гамильтоновым оператором} или
    \emph{гамильтонианом} системы.
  \section{Уравнение Шрёдингера для системы взаимодействующих частиц.}
    Для свободно движущейся частицы гамильтониан имеет вид
    \begin{equation}
      \hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} = \frac{1}{2m}\left( \hat{p}_x^2 +
      \hat{p}_y^2 + \hat{p}_z^2 \right) = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta.
    \label{eq:FreeParticleHamiltonian}
    \end{equation}

    Гамильтониан системы невзаимодействующих частиц равен сумме гамильтонианов
    каждой из них:
    \begin{equation}
      \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2}\sum_a \frac{\Delta_a}{m_a},
    \label{eq:Additivity}
    \end{equation}
    где индекс \(a\) нумерует частицу; \(\Delta_a\) --- оператор Лапласа, в
    котором дифференцирование производится по координатам \(a\)-той частицы.

    В классической (нерелятивистской) механике взаимодействие частиц описывается
    аддитивным членом в функции Гамильтона --- потенциальной энергией
    взаимодействия \(U(\vec{r_1}, \vec{r_2}, \dots, \vec{r_N})\), являющейся
    функцией координат частиц. Прибавлением такой же функции к гамильтониану
    системы описывается и взаимодействие частиц в квантовой механике:
    \begin{equation}
      \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2}\sum_a \frac{\Delta_a}{m_a} + U(\vec{r_1}, \vec{r_2}, \dots, \vec{r_N}).
    \label{eq:InteractionHamiltonian}
    \end{equation}
    Первый член при этом можно рассматривать как оператор кинетической энергии,
    а второй --- как оператор потенциальной энергии. В частности, гамильтониан
    для одной частицы, находящейся во внешнем поле, выглядит как
    \begin{equation}
      \hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + U(x, y, z) = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta +
      U(x, y, z),
    \label{eq:SingleParticleHamiltonian}
    \end{equation}
    где \(U(x, y, z)\) --- потенциальная энергия частицы во внешнем поле.

    Таким образом, волновое уравнение для частицы во внешнем поле имеет вид
    \begin{equation}
      i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} =  -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi +
      U(x, y, z)\psi.
    \label{eq:SingleParticleSchroedinger}
    \end{equation}
  \section{Предельный переход к классической механике в уравнении Шрёдингера.}
    Проследим, каким образом происходит в уравнении Шрёдингера предельный переход
    к классической механике, рассматривая для простоты всего одну частицу во
    внешнем поле. Для этого подставим в уравнение Шрёдингера
    \eqref{eq:SingleParticleSchroedinger} предельное представление волновой
    функции
    \begin{equation*}
      \psi = ae^{\frac{i}{\hbar}S}.
    \end{equation*}
    Очевидно,
    \begin{align*}
      i\hbar \frac{\partial\psi}{\partial t} = i\hbar \frac{\partial a}{\partial
      t}e^{\frac{i}{\hbar}S} + ai\hbar\frac{i}{\hbar}\frac{\partial S}{\partial
      t}e^{\frac{i}{\hbar}S} = i\hbar \frac{\partial a}{\partial
      t}e^{\frac{i}{\hbar}S} - \hbar\frac{a}{\hbar}\frac{\partial S}{\partial
      t}e^{\frac{i}{\hbar}S}.
    \end{align*}

    Вычислим теперь \(\Delta\psi\). Поскольку \(\Delta = \nabla^2\), сначала
    пишем
    \begin{equation*}
      \nabla\psi = \nabla a e^{\frac{i}{\hbar}S} + a\frac{i}{\hbar}\nabla S e^{\frac{i}{\hbar}S}.
    \end{equation*}
    Сократим на \(e^{\frac{i}{\hbar}S}\) и перенесём всё в правую часть:
    \begin{equation*}
      a\frac{\partial S}{\partial t} - i\hbar\frac{\partial a}{\partial t} +
      \frac{a}{2m}(\nabla S)^2 - \frac{i\hbar}{2m}a \Delta S -
      \frac{i\hbar}{m}\nabla a \nabla S - \frac{\hbar^2}{2m}\Delta a + Ua = 0.
    \end{equation*}
    В этом уравнении имеются чисто вещественные и чисто мнимые члены (напомним,
    что \(a\) и \(S\) --- вещественные), поэтому уравнение можно разбить на два:
    \begin{equation*}
      \left\{\begin{array}{l}
        a\frac{\partial S}{\partial t} + \frac{a}{2m}(\nabla S)^2 + Ua - \frac{\hbar^2}{2m}\Delta a = 0 \\
        -\hbar\frac{\partial a}{\partial t} - \frac{\hbar a}{2m}\Delta S - \frac{\hbar}{m}\nabla a \nabla S = 0
      \end{array}\right.
    \end{equation*}
    Разделим первое уравнение на \(a\), а второе --- на \(-\hbar\):
    \begin{equation*}
      \left\{\begin{array}{l}
        \frac{\partial S}{\partial t} + \frac{1}{2m}(\nabla S)^2 + U - \frac{\hbar^2}{2ma}\Delta a = 0 \\
        \frac{\partial a}{\partial t} + \frac{a}{2m}\Delta S + \frac{1}{m}\nabla a \nabla S = 0
      \end{array}\right.
    \end{equation*}
    
    В первом уравнении пренебрегаем членом, содержащим \(\hbar^2\):
    \begin{equation*}
      \frac{\partial S}{\partial t} + \frac{1}{2m}(\nabla S)^2 + U = 0,
    \end{equation*}
    т.\,е. получаем классичское уравнение Гамильтона-Якоби для действия \(S\)
    частицы. Мы видим, кстати, что при \(\hbar \to 0\) классическая механика
    справедлива с точностью до величины первого (а не нулевого) порядка по
    \(\hbar\) включительно (мы выбрасываем член \(\sim \hbar^2\).

    Второе из полученных уравнений домножаем на \(2a\):
    \begin{equation*}
        2a\frac{\partial a}{\partial t} + \frac{a^2}{m}\Delta S + \frac{2a}{m}\nabla a \nabla S = 0,
    \end{equation*}
    или
    \begin{equation*}
      \frac{\partial a^2}{\partial t} + \nabla \left( a^2 \frac{\nabla S}{m} \right) = 0,
    \end{equation*}
    или же
    \begin{equation}
      \frac{\partial a^2}{\partial t} + \Div\left( a^2\frac{\nabla S}{2m} \right) = 0.
    \label{eq:Possibility}
    \end{equation}
    Это уравнение имеет наглядный физический смысл: \(a^2\) есть плотность
    вероятности нахождения частицы в том или ином месте пространства:
    \begin{equation*}
      \abs{\psi}^2 = a^2.
    \end{equation*}
    С другой стороны,
    \begin{equation*}
      \frac{\nabla S}{m} = \frac{\vec{p}}{m} = \vec{v},
    \end{equation*}
    то есть, классическая скорость частицы. Поэтому уравнение
    \eqref{eq:Possibility} можно переписать в виде
    \begin{equation}
      \frac{\partial \abs{\psi}^2}{\partial t} + \Div(\abs{\psi}^2\vec{V}) = 0.
    \label{eq:PossibilityVelocity}
    \end{equation}
    Оно имеет вид уравнения непрерывности, показывающего, что плотность
    вероятности ``перемещается'' по законам классической механики со скоростью
    \(\vec{v}\) в каждой точке.
\end{document}
